Question

如图，抛物线y=x²第一象限部分上的一系列点A_i（i=1，2，3，…，n，…）与y正半轴上的点B₁及原点，构成一系列正三角形A_iB_i-1B_i（记B为O），记a_i=|A_iA_i+1|．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（3）求证：+++…+＜．

Answer

（1）求出求出数列{an}的通项公式．由此能够求出a1，a2的值．
（2）设，Bi-1Bi的中点为Di（i=1，2，…，n），则Di的坐标为（0，），|AiDi|=xi，，|AiDi|=xi，|Bi-1Di|=|DiBi|=，等边△Bi-1AiBi的边长为，由△BA1B1是等边三角形，利用余弦定理能求出数列{an}的通项公式．
（3）由（），知．
【解析】
（1）设，Bi-1Bi的中点为Di（i=1，2，…，n），
则Di的坐标为（0，），|AiDi|=xi，
，|AiDi|=xi，|Bi-1Di|=|DiBi|=，等边△Bi-1AiBi的边长为，
∵△BA1B1是等边三角形，
∴，
，，
又∵△Bi-1AiBi是等边三角形，
∴|ODi|-|DiBi-1|=|OBi-1|=|0Di-1|+|Di-1Bi-1|，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，∴．
△AiBiAi+1中，由余弦定理得：，
∴
=
=．
∴．
∴，，
（2）设，Bi-1Bi的中点为Di（i=1，2，…，n），
则Di的坐标为（0，），|AiDi|=xi，
，|AiDi|=xi，|Bi-1Di|=|DiBi|=，等边△Bi-1AiBi的边长为，
∵△BA1B1是等边三角形，
∴，
，，
又∵△Bi-1AiBi是等边三角形，
∴|ODi|-|DiBi-1|=|OBi-1|=|0Di-1|+|Di-1Bi-1|，
∴，
∴，
∴，
∴，
而，∴．
△AiBiAi+1中，由余弦定理得：，
∴
=
=．
∴．
（3）∵（）
，
∴
．