Question

设函数f（x）=（x-1）²+blnx，其中b为常数．
（1）当时，判断函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的有极值点，求b的取值范围及f（x）的极值点；
（3）求证对任意不小于3的正整数n，不等式都成立．

Answer

（1）首先函数的定义域为（0，+∞），然后求出函数的导数f′（x），将f′（x）变形为，再结合x＞0和得f′（x）＞0，可得函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
（2）方程在（0，∞）有两个不相等的实数根时，函数有极值．然后利用根的判别式算得当时，函数存在极值点，最后根据b≤0和0＜b＜两种情况分别得出函数的极值点；
（3）由（2）可知当b=-1时，函数f（x）=（x-1）2-lnx，利用其单调性，取自变量，可以证出n≥3时，再设出函数h（x）=（x-1）-lnx，用类似的方法得出n≥3时成立，两者相结合可得对任意不小于3的正整数n，不等式都成立．
【解析】
（1）由题意知，f（x）的定义域为（0，+∞），

∴当时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增．
（2）①由（Ⅰ）得，当时，函数f（x）在定义域上无极值点．
②时，有两个相同的解，时，
∴时，函数f（x）在（-1，+∞）上无极值点．
③当时，f'（x）=0有两个不同解，
∴（i）b≤0时，，，
此时f'（x），f（x）随x在定义域上的变化情况如表：

x （0，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） - +
f（x） 减 极小值 增

由此表可知：∵b≤0时，f（x）有惟一极小值点，
（ii）当时，0＜x1＜x2＜1
此时，f'（x），f（x）随x的变化情况如下表：

x （0，x1） x1 （x1，x2） x2 （x2，+∞）
f'（x） + - +
f（x） 增 极大值 减 极小值 增

由此表可知：时，f（x）有一个极大值和一个极小值点；
综上所述：当且仅当时f（x）有极值点；
当b≤0时，f（x）有惟一最小值点；
当时，f（x）有一个极大值点和一个极小值点
（3）由（2）可知当b=-1时，函数f（x）=（x-1）2-lnx，
此时f（x）有惟一极小值点
且 

令函数h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）