Question

设圆x²+y²=2的切线l与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于点A、B，当|AB|取最小值时，切线l的方程为    ．

Answer

根据圆的切线与x轴，y轴交点分别为A和B，设出两点的坐标，进而得出切线的截距式方程，且根据勾股定理表示出|AB|，由直线与圆相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设切线的距离d，使d等于圆的半径r，化简可得a与b的关系式，利用此关系式把|AB|2进行变形，利用基本不等式求出|AB|2的最小值，且得到取最小值时a与b的值，把此时a与b的值代入所设的方程中，即可确定出切线的方程．
【解析】
设A（a，0），B（0，b），a＞0，b＞0，则切线的方程为 ，|AB|=．
又圆x2+y2=2的圆心坐标为（0，0），半径r=，由圆心到直线的距离d==r=，
∴+=．
则|AB|2=（a2+b2）2[+]=2 （1+++1）≥2（2+2）=8，当且仅当a=b=时，等号成立．
故当|AB|取最小值时，切线l的方程为 ，即 2x+2y-1=0，
故答案为 2x+2y-1=0．