Question

递增的等比数列{a_n}的前n项和为Sn，且S₂=6，S₄=30
（I）求数列{a_n}的通项公式．
（II）若b_n=a_n，数列{b_n}的前n项和为Tn，求T_n+n•2ⁿ⁺¹＞50成立的最小正整数n的值．

Answer

（I）把已知利用等比数列的求和公式表示，解方程可求a1，q，进而可求通项
（II）由bn=an=-n•2n，利用错位相减即可求解数列的和，代入解不等式即可求解满足条件的n
【解析】
（I）∵S2=6，S4=30
∴
两式相除可得，=5
∵数列{an}递增，q＞0
∴q=2，a1=2
∴=2n
（II）∵bn=an=-n•2n
∴
设
2Hn=1•22+2•23+…+（n-1）•2n+n•2n+1
两式相减可得，-Hn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=-n•2n+1
=2n+1（1-n）-2=Tn
∵Tn+n•2n+1＞50
∴（1-n）•2n+1-2+n•2n+1＞50
∴2n+1＞52
∴最小正整数n的值为5