Question

如图，四棱锥P-ABCD的底ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AD=2，AB=1，E，F分别是AB，BC的中点N在轴上．
（I）求证：PF⊥FD；
（II）在PA上找一点G，使得EG∥平面PFD；
（III）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A-PD-F的余弦值．

Answer

（I）连接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，利用线面垂直性质定理可得DF⊥PA，再由线面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，进而可得PF⊥FD；
（Ⅱ）过点E作EH∥FD交AD于点H，过点H作HG∥DP交PA于点G，由此可确定G点位置，使得EG∥平面PFD；
（Ⅲ）确定∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，确定∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角，进而可得结论．
（Ⅰ）证明：连接AF，则AF=DF=

又AD=2，∴DF2+AF2=AD2，∴DF⊥AF
又PA⊥平面ABCD，
∴DF⊥PA，又PA∩AF=A，
∴DF⊥平面PAF，PF⊂平面PAF
∴DF⊥PF；
（Ⅱ）【解析】
过点E作EH∥FD交AD于点H，则EH∥平面PFD，且有AH=
再过点H作HG∥DP交PA于点G，则HG∥平面PFD且AG=AP，
∴平面GEH∥平面PFD，∴EG∥平面PFD．
从而满足AG=AP的点G即为所求；
（Ⅲ）【解析】
∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PBA是PB与平面ABCD所成的角，且∠PBA=45°．
∴PA=AB=1
取AD的中点M，则FM⊥AD，FM⊥平面PAD，
在平面PAD中，过M作MN⊥PD于N，连接FN，则PD⊥平面FMN，所以∠MNF即为二面角A-PD-F的平面角
∵Rt△MND∽Rt△PAD，
∴=，
∵PA=1，MD=1，PD=，且∠FMN=90°
∴MN=，FN=，cos∠MNF==．