(1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R,知f′(x)=ex-2,x∈R.令f′(x)=0,得x=ln2.列表讨论能求出f(x)的单调区间区间及极值.
(2)设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.由(1)知当a>ln2-1时,g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.由此能够证明ex>x2-2ax+1.
(1)【解析】
∵f(x)=ex-2x+2a,x∈R,
∴f′(x)=ex-2,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,ln2) ln2 (ln2,+∞)
f′(x) - +
f(x) 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),
单调递增区间是(ln2,+∞),
f(x)在x=ln2处取得极小值,
极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a),无极大值.
(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln2-1时,
g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.
于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,
故ex>x2-2ax+1.