将函数配方成顶点式:y=-(x-)2+-+,得y=f(x)的图象是开口向下的抛物线,关于直线x=对称.然后根据区间[0,1]与对称轴的位置关系进行讨论,结合函数的单调性与最大值为2,列出关于a的方程并解之,可得实数a的值,最后综合可得符合题意的答案.
【解析】
配方,得=-(x-)2+-+
∴函数y=f(x)的图象是开口向下的抛物线,关于直线x=对称
(1)当∈[0,1]时,即0≤a≤2时,
f(x)的最大值为f()=-+=2,解之得a=-2或3,经检验不符合题意;
(2)当>1时,即a>2时,函数在区间[0,1]上是增函数
∴f(x)的最大值为f(1)=-1+a+-=2,解之得a=
(3)当<0时,即a<0时,函数在区间[0,1]上是减函数
∴f(x)的最大值为f(0)=-=2,解之得a=-6
综上所述,得当f(x)区间[0,1]上的最大值为2时,a的值为-6或.