Question

已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[0，2]时，f（x）=（x-1）²，如果g（x）=f（x）-log₅|x-5|，则函数y=g（x）的所有零点之和为（ ）
A．20
B．40
C．60
D．80

Answer

先根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，以及令h（x）=log5|x-5|的图象，结合图象可得当x＞10时，h（x）=log5|x-5|＞1，此时与函数y=f（x）无交点，再根据y=log5|x-5|的图象关于直线x=5对称，结合图象即可判定函数g（x）=f（x）-log5|x-5|的零点之和；
【解析】
由题意可得g（x）=f（x）-log5|x-5|，根据周期性画出函数f（x）=（x-1）2的图象，
g（x）=f（x）-log5|x-5|有零点，可得g（x）=0即f（x）=log5|x-5|，
以及h（x）=log5|x-5|的图象，

根据h（x）=log5|x-5|在（5，+∞）上单调递增函数，当x=6 时，h（x）=log5|6-5|=0，
∴当x＞10时，y=log5|x-5|＞1，此时与函数y=f（x）无交点．
再根据h（x）=log5|x-1|的图象和 f（x）的图象都关于直线x=5对称，结合图象可知有8个交点，
则函数g（x）=f（x）-log5|x-5|的零点之和为4×10=40，
故选B