Question

如图，四边形ABCD是边长为的正方形，EC⊥平面CDAB，EF∥CA，点O是AC与BD的交点，CE=EF=1．
（1）求证：AF∥平面BDE；
（2）求证：CF⊥平面BDE；
（3）求二面角A-BE-D的大小．

Answer

（1）设AC与BD的交点为O，则DO=BO=BD，连接EO，则可证出四边形EFAO是平行四边形，从而AF∥EO，由线面平行的判定定理，可得AF∥平面BDE；
（2）连接FO，可证明四边形CEFO是正方形，可得对角线CF⊥EO．可证ED=EB又OD=OB，所以EO⊥BD，从而可证明CF⊥平面BDE．也可以建立空间直角坐标系，利用两直线垂直与两条直线的方向向量的数量积为零的关系来证明．
（3）通过可以建立空间直角坐标系，先求出二面角的两半平面的法向量的夹角，进而即可求出二面角的平面角．
【解析】
（1）连接EO，∵正方形ABCD的边长为，∴其对角线AC=2．
∵EF∥CO，且EF=1，AO=AC=1，
∴四边形AOEF为平行四边形，∴AF∥OE．
又∵EO⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，∴AF∥平面BDE．
（2）证法一：连接OF，∵EC⊥平面ABCD，∴EC⊥CO，EC⊥CD，EC⊥DB．
又∵EF∥CO，CE=EF=CO=1，∴四边形CEFO是正方形，∴CF⊥EO．
又∵CD=CB=，∴DE=BE．
∵O是BD的中点，∴EO⊥BD．
∵EC∩EO=E，∴DB⊥平面CEFO，∴DB⊥CF．
而EO∩BD=O，∴CF⊥平面BDE．
证法二：由已知条件建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz，
可知C（0，0，0），A（，，0），B（0，，0），D（，0，0），E（0，0，1），F．
∴，，．
∵，∴CF⊥BE；
∵，∴CF⊥DE．
∵BE∩DE=E，∴CF⊥平面BDE．
（3）设平面BDE的法向量为，∴，，
得，令，则y1=1，x1=1，∴．
设平面ABE的法向量，∵，，
∴=0，．
∴x2=0．令，则y2=1，∴．
∴==．∴．
由图可知二面角A-BE-D的平面角为．