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高中数学试题
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已知数列an的前n项和 (1)令bn=2nan,求证:数列bn是等差数列,并求数...
已知数列a
n
的前n项和
(1)令b
n
=2
n
a
n
,求证:数列b
n
是等差数列,并求数列a
n
的通项公式.
(2)令
,试比较T
n
与
的大小,并予以证明.
(1)由题意知S1=-a1-1+2=a1,,所以2nan=2n-1an-1+1,bn=bn-1+1,再由b1=2a1=1,知数列bn是首项和公差均为1的等差数列.于是bn=1+(n-1)•1=n=2nan,所以 (2),,利用错位相减求和法可知,于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小.猜想当n=1,2时,2n<2n+1,当n≥3时,2n>2n+1.然后用数学归纳法证明. 【解析】 (1)在中,令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,即 当n≥2时, 所以 所以,即2nan=2n-1an-1+1 因为bn=2nan,所以bn=bn-1+1,即当n≥2时,bn-bn-1=1 又b1=2a1=1,所以数列bn是首项和公差均为1的等差数列 于是bn=1+(n-1)•1=n=2nan,所以 (2)由1)得 所以①② 由①-②得 所以 于是确定Tn与的大小关系等价于比较2n与2n+1的大小. 猜想当n=1,2时,2n<2n+1,当n≥3时,2n>2n+1 下面用数学归纳法证明: 当n=3时,显然成立 假设当n=k(k≥3)时,2k>2k+1成立 则当n=k+1时,2k+1=2•2k>2(2k+1)=4k+2=2(k+1)+1+(2k-1)>2(k+1)+1 所以当n=k+1时,猜想也成立. 于是,当n≥3,n∈N*时,2n>2n+1成立 综上所述,当n=1,2时,, 当n≥3时,
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考点分析:
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.
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试题属性
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难度:中等
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