由于函数f(x)是分段函数,且对任意的非零实数x1,存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得f(x2)=f(x1)成立,得到x=0时,f(x)=k(1-a2),进而得到,关于a的方程(3-a)2=k(1-a2)有实数解,即得△≥0,解出k即可.
【解析】
由于函数f(x)=,其中a∈R,
则x=0时,f(x)=k(1-a2),
又由对任意的非零实数x1,存在唯一的非零实数x2(x2≠x1),使得f(x2)=f(x1)成立
∴函数必须为连续函数,即在x=0附近的左右两侧函数值相等,
∴(3-a)2=k(1-a2)(k≠0)即(k+1)a2-6a+9-k=0有实数解,
所以△=62-4(k+1)(9-k)≥0,解得k<0或k≥8
故答案为 (-∞,0)∪[8,+∞).