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如图,灌溉渠的横截面是等腰梯形,底宽2米,边坡的长为x米、倾角为锐角α. (1)...

如图,灌溉渠的横截面是等腰梯形,底宽2米,边坡的长为x米、倾角为锐角α.
(1)当manfen5.com 满分网且灌溉渠的横截面面积大于8平方米时,求x的最小正整数值;
(2)当x=2时,试求灌溉渠的横截面面积的最大值.

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(1)根据题意可分别表示出梯形的高和上底长,进而可求得横截面的面积的表达式,把代入S的解析式,利用二次函数的性质判断其单调性,进而推断x=2和x=3时S的值,求得x的最小正整数值. (2)把x代入S的解析式中通过对S的函数进行求导,判断S的单调性进而推断出S的最大值. 【解析】 由已知得等腰梯形的高为xsinα,上底长为2+2xcosα, 从而横截面面积S=(2+2+2xcosα)•xsinα=x2sinαcosα+2xsinα. (1)当时,面积是(0,+∞)上的增函数, 当x=2时,S=3<8;当x=3时,S=. 所以,灌溉渠的横截面面积大于8平方米时,x的最小正整数值是3. (2)当x=2时,S=4sinαcosα+4sinα,S'=4cos2α-4sin2α+4cosα =4(2cos2α+cosα-1)=4(2cosα-1)•(cosα+1), 由S′=0及α是锐角, 得.当0<α<时,S′>0,S是增函数; 当<α<时,S′<0,S是减函数.所以,当α=时,S有最大值. 综上所述,灌溉渠的横截面面积的最大值是.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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