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已知f1(x)=|3x-1|,f2(x)=|a•3x-9|(a>0),x∈R,且...

已知f1(x)=|3x-1|,f2(x)=|a•3x-9|(a>0),x∈R,且manfen5.com 满分网
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)当2≤a<9时,设f(x)=f2(x)所对应的自变量取值区间的长度为l(闭区间[m,n]的长度定义为n-m),试求l的最大值;
(Ⅲ)是否存在这样的a,使得当x∈[2,+∞)时,f(x)=f2(x)?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)本问中要代入a=1后,注意f1(x)与f2(x)的大小比较,以便于求出f(x)的解析式,进而利用函数的导数概念解决问题. (Ⅱ)本问中借鉴上问(1)的解题思想,由具体到一般,方法依然是针对a的范围条件,作差比较出f1(x)与f2(x)的大小, 在2≤a<9时,自变量x取哪些值时f(x)=f2(x),进而确定求出f(x)的解析式,对参数的讨论要结合具体的数值,从直观到抽象采取分类策略. (Ⅲ)本问利用(2)的结论容易求解,需要注意的是等价转化思想的应用,分类讨论思想重新在本问中的体现. 【解析】 (Ⅰ)当a=1时,f2(x)=|3x-9|. 因为当x∈(0,log35)时,f1(x)=3x-1,f2(x)=9-3x, 且f1(x)-f2(x)=2•3x-10<2•3log35-10=2•5-10=0, 所以当x∈(0,log35)时,f(x)=3x-1,且1∈(0,log35)(3分) 由于f'(x)=3xln3,所以k=f'(1)=3ln3,又f(1)=2, 故所求切线方程为y-2=(3ln3)(x-1), 即(3ln3)x-y+2-3ln3=0(5分) (Ⅱ)因为2≤a<9,所以,则 ①当时,因为a•3x-9≥0,3x-1>0, 所以由f2(x)-f1(x)=(a•3x-9)-(3x-1)=(a-1)3x-8≤0,解得, 从而当时,f(x)=f2(x)(6分) ②当时,因为a•3x-9<0,3x-1≥0, 所以由f2(x)-f1(x)=(9-a•3x)-(3x-1)=10-(a+1)3x≤0,解得, 从而当时,f(x)=f2(x)(7分) ③当x<0时,因为f2(x)-f1(x)=(9-a•3x)-(1-3x)=8-(a-1)3x>0, 从而f(x)=f2(x)一定不成立(8分) 综上得,当且仅当时,f(x)=f2(x), 故(9分) 从而当a=2时,l取得最大值为(10分) (Ⅲ)“当x∈[2,+∞)时,f(x)=f2(x)” 等价于“f2(x)≤f1(x)对x∈[2,+∞)恒成立”, 即“|a•3x-9|≤|3x-1|=3x-1(*)对x∈[2,+∞)恒成立”(11分) ①当a≥1时,,则当x≥2时,, 则(*)可化为a•3x-9≤3x-1,即,而当x≥2时,, 所以a≤1,从而a=1适合题意(12分) ②当0<a<1时,. (1)当时,(*)可化为a•3x-9≤3x-1,即,而, 所以a≤1,此时要求0<a<1((13分) (2)当时,(*)可化为, 此时只要求0<a<9(14分) (3)当时,(*)可化为9-a•3x≤3x-1,即,而, 所以,此时要求(15分) 由(1)(2)(3),得符合题意要求. 综合①②知,满足题意的a存在,且a的取值范围是(16分)
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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