Question

设函数f（x）=-x³+3x+2分别在x₁、x₂处取得极小值、极大值．xOy平面上点A、B的坐标分别为（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），该平面上动点P（x，y），Q（mx，2y），满足．
（1）求点A、B的坐标；
（2）求动点P的轨迹方程，并判断轨迹的形状．

Answer

（1）令f′（x）=0求出x的解，确定函数的增减性得到函数的极值，从而得到A、B的坐标；
（2）利用向量的数量积运算，可得动点P的轨迹方程，分类讨论，可得轨迹的形状．
【解析】
（1）令f'（x）=（-x3+3x+2）'=-3x2+3=0解得x=1或x=-1
当x＜-1时，f'（x）＜0；当-1＜x＜1时，f'（x）＞0；当x＞1时，f'（x）＜0
所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，
故x1=-1，x2=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）；
（2）由题意，
∵
∴（1+x）（mx-m）+2y2=1-m
∴mx2+2y2=1
①m=0时，y=±，表示两条平行直线；
②m=2时，x2+y2=，表示原点为圆心，半径为的圆；
③m＜0时，，表示焦点在y轴上的双曲线；
④m＞0时，，若0＜m＜2，表示焦点在x轴上的椭圆；若m＞2，表示焦点在y轴上的椭圆．