Question

（文）已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n+1是关于x的方程x²-2ⁿx+b_n=0（n∈N^*）的两根，且a₁=1．
（1）求数列和{b_n}的通项公式；  
（2）设S_n是数列{a_n}的前n项和，问是否存在常数λ，使得b_n-λS_n＞0对任意n∈N^*都成立，若存在，求出λ的取值范围； 若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意，可利用根与系数的关系得出an+an+1=2n，法一：观察发现，由此方程可以得出数列是首项为，公比为-1的等比数列，由此数列的性质求出它的通项，再求出an，
法二：an+an+1=2n，两边同除以（-1）n+1，得，令，则cn+1-cn=-（-2）n．得到新数列的递推公式，再由累加法求出cn，即可求出an，
（2）由（1）的结论，先求出数列{an}的前n项和，代入bn-λSn＞0，此不等式对任意n∈N*都成立，可用分离常数法的技巧，将不等式变为对任意正偶数n都成立，求出的最小值即可得到参数的取值范围，若此范围是空集则说明不存在，否则，存在
【解析】
（1）∵an，an+1是关于x的方程x2-2nx+bn=0（n∈N*）的两根，
∴
求数列{an}的通项公式，给出如下二种解法：
解法1：由an+an+1=2n，得，
故数列是首项为，公比为-1的等比数列．
∴，即．
解法2：由an+an+1=2n，两边同除以（-1）n+1，得，
令，则cn+1-cn=-（-2）n．
故cn=c1+（c2-c1）+（c3-c2）+…+（cn-cn-1）=-1-（-2）-（-2）2-（-2）3-…-（-2）n-1==（n≥2）．
且也适合上式，∴=，即．
∴bn=anan+1=×=
（2）Sn=a1+a2+a3+…+an==．
要使bn-λSn＞0对任意n∈N*都成立，
即（*）对任意n∈N*都成立．
1当n2为正奇数时，由（*）式得34，
即，
∵2n+1-1＞0，∴对任意正奇数n都成立．
当且仅当n=1时，有最小值1．
∴λ＜1．
②当n为正偶数时，由（*）式得，
即，
∵2n-1＞0，∴对任意正偶数n都成立．
当且仅当n=2时，有最小值．
∴λ＜．
综上所述，存在常数λ，使得bn-λSn＞0对任意n∈N*都成立，λ的取值范围是（-∞，1）．