Question

对于定义域为[0，1]的函数f（x），如果同时满足以下三条：①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；②f（1）③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，都有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立，则称函数f（x）为理想函数．
（1）若函数f（x）为理想函数，求f（0）的值；
（2）判断函数g（x）=2^x-1（x∈[0，1]）是否为理想函数，并予以证明；
（3）若函数f（x）为理想函数，假定∃x∈[0，1]，使得f（x）∈[0，1]，且f（f（x））=x，求证f（x）=x．

Answer

（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．
（2）g（x）=2x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0，也满足条件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x）=x．
【解析】
（1）取x1=x2=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0．（1分）
又由条件①f（0）≥0，故f（0）=0．（3分）
（2）显然g（x）=2x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0；（4分）
也满足条件②g（1）=1．（5分）
若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，
则=，即满足条件③，（8分）
故g（x）理想函数．（9分）
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，
∴f（n）=f（n-m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．（11分）
若x＜f（x），则f（x）≤f[f（x）]=x，前后矛盾；（13分）
若x＞f（x），则f（x）≥f[f（x）]=x，前后矛盾．（15分）
故x=f（x）．（16分）