Question

已知函数f（x）=2^x+2^ax+b，且f（1）=、f（2）=．
（1）求a、b的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）先判断并证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，然后求f（x）的值域．

Answer

（1）由f（1）=、f（2）=列方程组，解这个指数方程组即可得a、b的值；（2）先求函数的解析式，在求函数的定义域，最后利用函数奇偶性的定义证明函数的奇偶性；（3）利用函数单调性的定义，通过设变量，作差比较函数值的大小证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的值域即可
【解析】
（1）由得
解得；
（2）∵f（x）=2x+2-x，f（x）的定义域为R，
由f（-x）=2-x+2x=f（x），
所以f（x）为偶函数．
（3）f（x）在[0，+∞）上为增函数．证明如下：
设x1＜x2，且x1，x2∈[0，+∞）
==
因为x1＜x2且x1，x2∈[0，+∞）
所以，
所以f（x1）-f（x2）＜0
所以f（x）在[0，+∞）上为增函数．
∴f（x）≥f（0）=2
f（x）的值域为[2，+∞）