Question

设x₁、x₂（x₁≠x₂）是函数f（x）=ax³+bx²-a²x（a＞0）的两个极值点．
（I）若x₁=-1，x₂=2，求函数f（x）的解析式；
（II）若 ，求b的最大值；
（III）设函数g（x）=f′（x）-a（x-x₁），x∈（x₁，x₂），当x₂=a时，求|g（x）|的最大值．

Answer

（Ⅰ）依题意，-1和2是f′（x）=3ax2+2bx-a2=0的两根，由韦达定理可求得a，b的值，从而得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）依题意，x1、x2是方程f′（x）=0的两个根，又且|x1|+|x2|=2，有=8．由韦达定理可求得b2=3a2（6-a），0＜a≤6，构造函数p（a）=3a2（6-a），通过导数法可求得p（a）的极大值，从而可得b的最大值；
（Ⅲ）由题意得，f′（x）=3a（x-x1）（x-x2），x2=a，可求得x1=-，从而有|g（x）|=|3a（x+）（x-a）-a（x+）|=|a（x+）[3（x-a）-1]|=-3a++a2+a，于是可求得|g（x）|max=．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=ax3+bx2-a2x（a＞0），
∴f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），
依题意又-1和2是方程3ax2+2bx-a2=0的两根，
∴，解得，
∴f（x）=6x3-9x2-36x（经检验，适合）…3′
（Ⅱ）∵f′（x）=3ax2+2bx-a2（a＞0），依题意，x1、x2是方程f′（x）=0的两个根，
∵x1x2=-＜0且|x1|+|x2|=2，
∴=8．
∴+=8，
∴b2=3a2（6-a），
∵b2≥0，
∴0＜a≤6．
设p（a）=3a2（6-a），则p′（a）=-9a2+36a．
由p′（a）＞0得0＜a＜4，由p′（a）＜0得a＞4，
即p（a）在区间（0，4]上是增函数，在区间[4，6]上是减函数，
∴当a=4时p（a）有极大值96．
∴p（a）在（0，6]上的最大值是96，
∴b的最大值为4．-----（9分）
（Ⅲ）证明：∵x1、x2是方程f′（x）=0的两个根，
∴f′（x）=3a（x-x1）（x-x2）．
∵x1x2=-，x2=a，
∴x1=-．
∴|g（x）|=|3a（x+）（x-a）-a（x+）|=|a（x+）[3（x-a）-1]|，
∵x1＜x＜x2，即-＜x＜a，
∴|g（x）|=a（x+）（-3x+3a+1）
=-3a（x+）（x-）
=-3a++a2+a
≤+a2+a
=．
|g（x）|max=，当且仅当x=时取“=”…15′