Question

观察数列：
①1，-1，1，-1，…；
②正整数依次被4除所得余数构成的数列1，2，3，0，1，2，3，0，…；
③a_n=tan，n=1，2，3，…
（1）对以上这些数列所共有的周期特征，请你类比周期函数的定义，为这类数列下一个周期数列的定义：对于数列{a_n}，如果______，对于一切正整数n都满足______成立，则称数列{a_n}是以T为周期的周期数列；
（2）若数列{a_n}满足a_n+2=a_n+1-a_n，n∈N^*，S_n为{a_n}的前n项和，且S₂=2008，S₃=2010，证明{a_n}为周期数列，并求S₂₀₀₈；
（3）若数列{a_n}的首项a₁=p，p∈[0，），且a_n+1=2a_n（1-a_n），n∈N^*，判断数列{a_n}是否为周期数列，并证明你的结论．

Answer

（1）根据所给数据发现他们呈周期性变化，类比周期函数可得周期数列定义
（2）根据递推关系an+2=an+1-an可用做差发求得an+6=-an+3=an，而ak+ak+1+-----+ak+5=0，k∈N*利用周期性知S2008=a1+a2+a3+a4=a2+a3=1007
（3）直接做比较困难，可以利用数学归纳法进行求解
【解析】
（1）存在正整数T，使an+T=an；
（2）证明：由an+2=an+1-an⇒an+3=an+2-an+1=an+1-an-an+1=-an⇒an+6=-an+3=an
所以数列，{an}是以T=6为周期的周期数列
由S2=2008，S3=2010，a1+a2=2008，a1+a2+a3=2010⇒a3=2
于是⇔
又ak+ak+1+-----+ak+5=0，k∈N*，
所以，S2008=a1+a2+a3+a4=a2+a3=1007
（3）当p=0时，{an}是周期数列，
因为此时an=0（n∈N*）为常数列，
所以对任意给定的正整数T及任意正整数n，
都有an+T=an，符合周期数列的定义．
当p∈（0，）时，{an}是递增数列，不是周期数列．
下面用数学归纳法进行证明：
①当n=1时，因为a1=p，p∈（0，）
所以，
且a2-a1=2a1（1-a1）-a1=a1（1-2a1）=p（1-2p）＞0
所以a1＜a2，a2∈（0，）
②假设当n=k时，结论成立，即a1＜a2＜---＜ak，ak∈（0，），
则ak+1-ak=2ak（1-ak）-ak=ak（1-2ak）＞0即ak＜ak+1
所以当n=k+1时，结论也成立．
根据①、②可知，{an}是递增数列，不是周期数列．