Question

已知圆C的方程为：x²+y²=4．
（1）求过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）直线l过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2，求直线l的方程．

Answer

（1）设出切线方程，利用点到直线的距离等于半径，求出k，即可求出过点P（1，2）且与圆C相切的直线l的方程；
（2）通过弦长|AB|=2，半径与弦心距满足勾股定理，求出直线的斜率，然后求直线l的方程．
解 （1）显然直线l的斜率存在，设切线方程为y-2=k（x-1），…（1分）
则 =2   …（2分）       
 解得，k1=0，k2=-，…（3分）
故所求的切线方程为y=2或4x+3y-10=0．…（5分）
（2）当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x=1，
l与圆的两个交点坐标为（1，）和（1，-），
这两点的距离为2，满足题意；…（7分）
当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y-2=k（x-1），…（8分）
即kx-y-k+2=0，
设圆心到此直线的距离为d，则2=2，∴d=1，…（9分）
∴1=，∴k=，…（10分）
此时直线方程为3x-4y+5=0，…（11分）
综上所述，所求直线方程为3x-4y+5=0或x=1．…（12分）