Question

已知双曲线，
（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．
（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．
（3）平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

Answer

（1）设以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程为，a＞b＞0，则a2=6+2=8，c2=6，由此能求出椭圆E的方程．
（2）依题意得D点的坐标为（-2，-1），且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P（x，y），则，，由此能推导出直线CP和DP的斜率之积为定值-．
（3）直线CD的斜率为，CD平行于直线l，设直线l的方程为y=，由，得x2+2tx+2t2-4=0，△=4t2-4（2t2-4）＞0，解得t2＜4，由此能求出△CMN面积的最大值和此时直线l的方程．
【解析】
（1）∵双曲线的顶点为（±，0），焦点为（，0），
设以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程为，a＞b＞0，
则a2=6+2=8，c2=6，
∴椭圆E的方程为．…（3分）
（2）依题意得D点的坐标为（-2，-1），
且D点在椭圆E上，直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P（x，y），
则，，
∴=，…（5分）
∵点Q在椭圆E上，∴x2=8-4y2，kCP•kDP==-．
∴直线CP和DP的斜率之积为定值-．…（7分）
（3）∵直线CD的斜率为，CD平行于直线l，
设直线l的方程为y=，
由，消去y，整理得x2+2tx+2t2-4=0，
△=4t2-4（2t2-4）＞0，解得t2＜4，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
则x1+x2=-2tx1•x2=2t2-4．…（10分）
∴|MN|=
=
=
=，-2＜t＜2．…（11分）
点C到直线MN的距离为d==，…（12分）
∴
=
=|t|•
=≤==2．
当且仅当t2=4-t2，即t2=2时，取等号．…（13分）
∴△CMN面积的最大值为2，此时直线l的方程为y=．…（14分）