Question

已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f'（x）在R上恒有f'（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（ ）
A．（1，+∞）
B．（-∞，-1）
C．（-1，1）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）

Answer

构造函数g（x）=f（x）-x-1，g'（x）=f′（x）-1＜0，从而可得g（x）的单调性，结合f（1）=2，可求得g（1）=1，然后求出不等式的解集即可．
【解析】
令g（x）=f（x）-x-1，
∵f′（x）＜1（x∈R），
∴g′（x）=f′（x）-1＜0，
∴g（x）=f（x）-x-1为减函数，
又f（1）=2，
∴g（1）=f（1）-1-1=0，
∴不等式f（x）＜x+1的解集⇔g（x）=f（x）-x-1＜0=g（1）的解集，
即g（x）＜g（1），又g（x）=f（x）-x-1为减函数，
∴x＞1，即x∈（1，+∞）．
故选A．