Question

若函数f（x）为定义域D上单调函数，且存在区间[a，b]⊆D（其中a＜b），使得当x∈[a，b]时，f（x）的值域恰为[a，b]，则称函数f（x）是D上的正函数，区间[a，b]叫做等域区间．如果函数g（x）=x²+m是（-∞，0）上的正函数，则实数m的取值范围    ．

Answer

根据函数g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函数建立方程组，消去b，求出a的取值范围，转化成关于a的方程a2+a+m+1=0在区间（-1，-）内有实数解进行求解．
【解析】
因为函数g（x）=x2+m是（-∞，0）上的正函数，
所以当x∈[a，b]时，
 g（a）=b g（b）=a  即a2+m=b，b2+m=a，
两式相减得a2-b2=b-a，
即b=-（a+1），
代入a2+m=b得a2+a+m+1=0，
由a＜b＜0，
且b=-（a+1）
得-1＜a＜-，
故关于a的方程a2+a+m+1=0在区间（-1，-）内有实数解，
记h（a）=a2+a+m+1，
则 h（-1）＞0，h（-）＜0，
解得m∈（-1，-）．
故答案为：（-1，-）．