Question

已知函数f（x）满足f（x+1）[f（x）+1]=1．当x∈[0，1]时，f（x）=x，若g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]有3个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．[）
C．[）
D．（0，）

Answer

先求出f（x）在区间（-1，2]上的解析式，令g（x）=f（x）-mx-m=0，即有f（x）=mx+m，在同一坐标系内画出y=f（x）和y=mx+m的图象，
转化为图象有三个不同的交点的条件，数形结合求出实数m的取值范围．
【解析】
当x∈（-1，0]时，x+1∈（0，1]，f（x）=x，由函数f（x）满足f（x+1）[f（x）+1]=1可得，
f（x）===-．
当x∈[1，2]时，x-1∈[0，1]，由f（x+1）[f（x）+1]=1可得 f（x）[f（x-1）+1]=1，故 f（x）==．
由g（x）=f（x）-m（x+1）在区间（-1，2]有3个零点，可得函数 y=f（x）的图象和y=mx+m的图象有3个交点．
在同一坐标系内画出y=f（x）和y=mx+m的图象，如图所示：
动直线y=mx+m过定点（-1，0），当x=1时，y=2m＜1，当x=2时，y=3m≥，解得 ≤m＜．
由图象可知当≤m＜时，两图象有三个不同的交点，从而g（x）=f（x）-mx-m有三个不同的零点，
故选C．