Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a-b）sinB=asinA-csinC，且a²+b²-6（a+b）+18=0，则=    ．

Answer

通过正弦定理化简已知表达式，然后利用余弦定理求出C的余弦值，得到C的值．通过a2+b2-6（a+b）+18=0，求出a，b的值，推出三角形的形状，然后求解数量积的值．
【解析】
由已知（a-b）sinB=asinA-csinC，即asinA-csinC=（a-b）sinB，根据正弦定理，
得，a2-c2=（a-b）b，即a2+b2-c2=ab．
由余弦定理得cosC==．
又C∈（0，π）．所以C=．
a2+b2-6（a+b）+18=0，可得（a-3）2+（b-3）2=0，
所以a=b=3，三角形是正三角形，
=3×3×3×cos120°=．
故答案为：．