(I)设AA1=a,以A为原点,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系.分别得出A、B、C、A1、B1、C1、的坐标,从而得到=(-,,-a),=(0,1,0),因为B1C与A1C1所成的角为60°,利用空间两个向量夹角公式列出关于a的方程,解出a=,由此不难得到三棱柱ABC-A1B1C1的体积;
(II)利用数量积为零的方法列方程组,从而解出平面ACB1的一个法向量=(-2,0,1).而=(0,0,1)为面ACB的一个法向量,计算出向量、的夹角余弦值,即可得到二面角B1-AC-B的余弦值为.
【解析】
(Ⅰ)如图,以A为原点,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系.
设AA1=a(a>0),依题意得
B1(,-,a),A(0,0,0),C(0,1,0).
∴=(-,,-a),==(0,1,0),
由异面直线B1C与A1C1所成的角为60°,得
|cos<,>|===,
解之得a=.…(4分)
所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为:
V=S△ABC•AA1=AB•ACsin120°•AA1=×1×1××=.…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,=(-,,-).
设=(x,y,z)为面ACB1的一个法向量,则•=0,•=0,
可得:
取z=1,得x=-2,于是=(-2,0,1).…(9分)
又∵=(0,0,1)为面ACB的一个法向量,
∴cos<,>==,即为平面ACB与平面ACB1所成角的余弦值.
因此,二面角B1-AC-B的余弦值为.…(12分)