Question

选修4-1几何证明选讲
如图，圆O的圆心O在Rt△ABC的直角边BC上，该圆与直角边AB相切，与斜边AC交于D，E，AD=DE=EC，AB=．
（I）求BC的长；
（II）求圆O的半径．

Answer

（I）根据已知条件结合切割线定理，得AB2=AD•AE=AB2=63，再在Rt△ABC中利用勾股定理可算出BC的长度；
（II）设圆O的半径为r，根据割线定理，结合（I）的计算，可得CF•CB═AC2=AB2，即（7-2r）×7=14，解之可得圆O的半径为7．
【解析】
（Ⅰ）由已知及由切割线定理，得
AB2=AD•AE=AC•AC，所以AC2=AB2．…（3分）
∵AB=，∴AC2=×14=63
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==7．…（5分）
（Ⅱ）设圆O与BC的交点为F，圆O的半径为r．
由割线定理，得CF•CB=CE•CD=AC•AC=AC2
结合（I）AC2=AB2，得CF•CB=AB2，…（8分）
∴（7-2r）×7=14，解之得r=，即圆O的半径为7．…（10分）