Question

已知集合M={x|x（x-a-1）＜0（a∈R）}，N={x|x²-2x-3≤0}，若M∪N=N，求实数a的取值范围．

Answer

由已知得N={x|-1≤x≤3}，由M∪N=N，可得M⊆N，分类讨论：①a+1＜0，②当a+1=0③当a+1＞0三种情况分别求解
【解析】
由已知得N={x|-1≤x≤3}，…（2分）
∵M∪N=N，
∴M⊆N．…（3分）
又M={x|x（x-a-1）＜0（a∈R）}
①当a+1＜0即a＜-1时，集合M={x|a+1＜x＜0}．
要使M⊆N成立，只需-1≤a+1＜0，解得-2≤a＜-1   …（6分）
②当a+1=0即a=-1时，M=∅，显然有M⊆N，
所以a=-1符合 …（9分）
③当a+1＞0即a＞-1时，集合M={x|0＜x＜a+1}．
要使M⊆N成立，只需0＜a+1≤3，解得-1＜a≤2      …（12分）
综上所述，所求a的取值范围是[-2，2]．…（13分）