先求出双曲线的方程,并画出图形,因为直线与双曲线的渐近线平行,所以只能有一个点满足要求.
【解析】
∵|PM|-|PN|=<4=|MN|,
∴据双曲线的定义可知:动点P应在双曲线上,,其中,a=,c=2,
∴.
∴动点P的轨迹为x2-y2=2.
如图所示:∵双曲线为等轴双曲线,∴其渐近线方程为y=±x,
而直线y=x与y=x-2的距离d==,
∴直线y=x-2的左上方的双曲线上的点都不满足到直线y=x-2上的距离等于.
在双曲线上的点到直线y=x-2的距离为的点只能在直线y=x-2的下方,且只有一个点,如图示.
故答案为1.