Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）上一个横坐标为2的点到其焦点的距离为．
（1）求p的值；
（2）若A是抛物线y²=2px上的一动点，过A作圆M：（x-1）²+y²=1的两条切线分别切圆于E、F两点，交y轴于B、C两点，当A点横坐标大于2时，求△ABC的面积的最小值．

Answer

（1）利用抛物线y2=2px（p＞0）上一个横坐标为2的点到其焦点的距离为，由抛物线的定义可得结论；
（2）确定直线AB的方程，利用圆心（1，0）到AB的距离为1，建立方程，再利用韦达定理，表示出三角形的面积，利用基本不等式可求△ABC的面积的最小值．
【解析】
（1）由抛物线的定义知，，所以p=1．…（4分）
（2）设A（x，y），B（0，b），C（0，c），直线AB的方程为y-b=，即（y-b）x-xy+xb=0
又圆心（1，0）到AB的距离为1，所以=1，…（8分）
即（y-b）2+=（y-b）2+2xb（y-b）+b2
又x＞2，上式化简得（x-2）b2+2yb-x=0    …（10分）
同理有（x-2）c2+2yc-x=0
故b，c是方程（x-2）t2+2yt-x=0的两个实数根
所以b+c=，bc=，…（12分）
则（b-c）2==，即|b-c|=，
∴S△ABC=|b-c|x==x-2++4≥2+4=8     …（13分）
当（x-2）2=4时，上式取等号，此时x=4，y=±2
因此S△ABC的最小值为8．…（14分）