Question

已知双曲线过点P，它的渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F₁和F₂是这双曲线的左、右焦点，点P在这双曲线上，且|PF₁|•|PF₂|=32，求∠F₁PF₂的大小．

Answer

（1）根据题意，由双曲线的渐近线方程可设双曲线的方程为=λ，λ≠0；又因为双曲线过点P，将P的坐标代入可得λ=1；将λ=1代入可得答案；
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，根据题意有d1•d2=32，又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6，结合平方差公式可得d12+d22的值，又|F1F2|=2c=10，结合勾股定理可得答案．
【解析】
（1）根据题意，双曲线的渐近线方程为，
可设双曲线的方程为=λ，λ≠0；
双曲线过点P，将P的坐标代入可得λ=1；
则所求的双曲线方程为
（2）设|PF1|=d1，|PF2|=d2，则d1•d2=32，
又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6，
∴d12+d22-2d1d2=36即有d12+d22=36+2d1d2=100，
又|F1F2|=2c=10，
∴|F1F2|2=100=d12+d22=|PF1|2+|PF2|2
△PF1F2是直角三角形，
∠F1PF2=90°．