Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知∠ACB=90°，BC=CC₁，E、F分别为AB、AA₁的中点．
（1）求证：直线EF∥平面BC₁A₁；
（2）求证：EF⊥B₁C．

Answer

（1）欲证直线EF∥平面BC1A1，只需证明EF平行平面BC1A1中的一条直线即可，由E、F分别为AB、AA1的中点，可知
EF∥A1B，EF∥A1B⊂平面BC1A1，问题得证．
（2）欲证EF⊥B1C，只需证明EF的平行线A1B垂直于B1C即可，也即证明B1C垂直于A1B所在的平面BA1C1，又须证明B1C垂直于平面BA1C1中的两条相交直线，由三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，以及∠ACB=90°，BC=CC1，极易证明BC1⊥B1C，A1C1⊥B1C，
而BC1，A1C1为平面BA1C1中的两条相交直线，问题得证．
【解析】
（1）∵E、F分别为AB、AA1的中点，∴EF∥A1B
∵EF⊈平面BC1A1，A1B⊆平面BC1A1
∴EF∥平面BC1A1．
（2）∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，∴AC⊥CC1，
∴AC⊥平面BB1C1C，∴AC⊥B1C，
又∵A1C1∥AC，∴A1C1⊥B1C，
∵BC=CC1，BC⊥CC1，∴BC1⊥B1C
∴B1C⊥平面BA1C1，∴B1C⊥A1B
由（1）知，EF∥A1B
∴EF⊥B1C．