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已知菱形ABCD的边长为2,对角线AC与BD交于点O,且∠ABC=120°,M为...

已知菱形ABCD的边长为2,对角线AC与BD交于点O,且∠ABC=120°,M为BC的中点.将此菱形沿对角线BD折成二面角A-BD-C.
( I)求证:面AOC⊥面BCD;
( II)若二面角A-BD-C为60°时,求直线AM与面AOC所成角的余弦值.
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( I)由四边形ABCD为菱形,可得OA⊥BD,OC⊥BD,再根据线面垂直的判定定理可得线面垂直. ( II)由题意可得:∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=60°,作MK⊥OC,连接AK,可得MK⊥面AOC,所以∠MAK是直线AM与面AOC所成的角,由题意可得:,在△AOK中,利用余弦定理可得:,在Rt△AMK中,再利用解三角形的有关知识求出答案即可. 【解析】 ( I)证明:因为四边形ABCD为菱形, 所以OA⊥BD,OC⊥BD, 所以⇒面AOC⊥面BCD…(6分) ( II)菱形沿对角线BD折成二面角A-BD-C后,仍然有AO⊥BD,CO⊥BD, ∴∠AOC是二面角A-BD-C的平面角,即∠AOC=60°…(8分) 作MK⊥OC,连接AK,如图所示: 因为MK∥BD,BD⊥面AOC, 所以MK⊥面AOC, 所以∠MAK是直线AM 与面AOC所成的角                  …(10分) 因为菱形ABCD的边长为2,对角线AC与BD交于点O,且∠ABC=120°, 所以OC=,BD=. 又因为MK⊥OC,M为BC的中点, 所以K为OC的中点, 所以, 所以在△AOK中,因为∠AOC=60°, 所以,所以. 在Rt△AMK中, ∵,, ∴, ∴, ∴直线AM 与面AOC所成角的余弦值是…(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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