Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点D在边BC上，AD⊥C₁D．
（Ⅰ）求证：AD⊥平面BC C₁B₁；
（Ⅱ）设E是B₁C₁上的一点，当的值为多少时，A₁E∥平面ADC₁？请给出证明．

Answer

（Ⅰ）由于正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，得到AD⊥CC1又已知AD⊥C1D，利用线面垂直的判断定理得到结论．
（Ⅱ）由（1）得到D是BC的中点，所以当=1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1，利用平行四边形的对边平行得到A1E∥AD，然后利用线面平行的判定定理得到证明．
【解析】
（Ⅰ）在正三棱柱中，CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，
∴AD⊥CC1．                   …（2分）
又AD⊥C1D，CC1交C1D于C1，且CC1和C1D都在面BCC1B1内，
∴AD⊥平面BCC1B1．            …（5分）
（Ⅱ）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．…（7分）
当=1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1．…（8分）
事实上，正三棱柱ABC-A1B1C1中，四边形BC C1B1是矩形，且D、E分别是BC，BC1B1的中点，
所以BB1∥DE且BB1=DE．…（10分）
又BB1∥AA1，且BB1=AA1，
∴AA1∥DE，且AA1=DE．     …（12分）
所以四边形AA1DE为平行四边形，所以A1E∥AD．
而A1E在平面ADC1外，故A1E∥平面ADC1． …（14分）