过点P作PH⊥平面ABC于H,可得∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角,得∠PAH=60°.由PA=PB=PC,得外接球心O必定在PH上,连接OA,可得△POA是底角等于30°的等腰三角形,从而得到外接球的半径R=OA=1,再用球的体积公式可得该三棱锥外接球的体积.
【解析】
过点P作PH⊥平面ABC于H,则
∵AH是PA在平面ABC内的射影
∴∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角,得∠PAH=60°,
∴Rt△PAH中,AH=PAcos60°=,PH=PAsin60°=
设三棱锥外接球的球心为O,
∵PA=PB=PC,∴P在平面ABC内的射影H是△ABC的外心
由此可得,外接球心O必定在PH上,连接OA、OB、OC
∵△POA中,OP=OA,
∴∠OAP=∠OPA=30°,可得PA==
∴三棱锥外接球的半径R=OA=1
因此该三棱锥外接球的体积为V=πR3=
故选:D