①V A-D1PC=V C-AD1P,C到面 AD1P的距离不变,且三角形 AD1P的面积不变.
②,当P 与B重合时,DP与BC1;成60°角,不垂直.
③连接A1B,A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1,从而由线面平行的定义可得;
④连接DB1,容易证明DB1⊥面ACD1 ,从而可以证明面面垂直.
【解析】
对于①,V A-D1PC=V C-AD1P,C到面 AD1P的距离不变,且三角形 AD1P的面积不变.∴三棱锥A-D1PC的体积不变; 正确;
②连接DB,DC1,可知△DBC1是正三角形,当且仅当P为BC1中点时,DP⊥BC1,考虑特殊位置,当P 与B重合时,DP与BC1成60°角,不垂直.
错误
③连接A1B,A1C1容易证明平面BA1C1∥面ACD1,从而由线面平行的定义可得 A1P∥平面ACD1;.正确.
④连接DB1,根据正方体的性质,有DB1⊥面ACD1 ,DB1⊂平面PDB1 从而可以证明平面PDB1⊥ACD1;正确.
正确的命题个数有 3个.
故选C.