(1)由函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,知f(x)的定义域为(0,+∞),=,由此能推导出函数f(x)的单调性.
(2)当a=-时,由(1)知f(x)在(0,+∞)上的最大值为f(1)=,欲使f(x1)≤g(x2)恒成立,只需g(x)max≥f(x)max=,由此能求出实数b取值范围.
【解析】
(1)∵函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1,
∴f(x)的定义域为(0,+∞),=,
当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a≤-1时,f′(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递减;
当-1<a<0时,由f′(x)=0,得,
∵x>0,∴x=,
当x∈(0,)时,f′(x)>0,
当x∈(,+∞)时,f′(x)<0,
函数f(x)在(0,)上单调递增;在(,+∞)上单调递减.
(2)当a=-时,由(1)知f(x)在(0,+∞)上的最大值为f(1)=,
欲使符合条件的f(x1)≤g(x2)成立,
只需存在g(x)max≥f(x)max=即可,
∴存在x∈[1,2]使得不等式-x2+2bx+3≥成立,
则由2bx,得到2b,
∵x-在[1,2]上有最小值-,
因此2b,故b.