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函数f(x)在定义域R上不是常数函数,且f(x)满足条件:对任意x∈R,都有f(...

函数f(x)在定义域R上不是常数函数,且f(x)满足条件:对任意x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),f(1+x)=-f(x),
则f(x)是( )
A.奇函数但非偶函数
B.偶函数但非奇函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.是非奇非偶函数
根据对任意x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),f(1+x)=-f(x),知f(2+x)=f[1+(1+x)]=-f(1+x)=f(x),f(2-x)=f[1+(1-x)]=-f(1-x)=f(-x),故f(x)为偶函数,反之易得函数f(x)不可能为奇函数,即可得答案. 【解析】 ∵对任意x∈R,都有f(2+x)=f(2-x),f(1+x)=-f(x) ∴f(2+x)=f[1+(1+x)]=-f(1+x)=f(x),f(2-x)=f[1+(1-x)]=-f(1-x)=f(-x) ∴f(x)=f(-x) 故f(x)为偶函数 又∵既是奇函数又是偶函数只有常数函数,函数f(x)在定义域R上不是常数函数 ∴函数f(x)不可能为奇函数 故选B
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考点分析:
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