Question

已知函数f（x）=+lnx-1（a是常数，e=2.71828）．
（Ⅰ）若x=2是函数f（x）的极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a=1时，方程f（x）=m在x∈[，e²]上有两解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）求证：ln（n＞1，且n∈N^*）．

Answer

（Ⅰ）对f（x）进行求导，因为x=2是函数f（x）的极值点，可得f′（2）=0，求得a的值，求出切点根据导数与斜率的关系求出切线方程；
（Ⅱ）把a=1代入函数f（x）=+lnx-1，对其进行求导，方程f（x）=m在x∈[，e2]上有两解，将问题转化为求f（x）的值域，利用导数研究函数f（x）的最值问题；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，a=1时，由（2）知f（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，可以令x=，得到一个不等式，利用此不等式进行放缩证明；
【解析】
（Ⅰ）f′（x）=，x=2是函数f（x）的极值点，
∴f′（2）=0，可得=0，得a=2，
∴f′（1）=1-a=-1，
点（1，f（1））即（1，2），
∴y-2=（-1）（x-1），即x+y-1=0
∴切线方程为x+y-1=0；
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=+lnx-1，f′（x）=，其中x∈[，e2]，
当x∈[，1）时，f′（x）＜0；
x∈（1，e2]时，f′（x）＞0，
∴x=1是f（x）在[，e2]上唯一的极小值点，
∴[f（x）min]=f（1）=0；
f（）=e-2，f（e2）=+lne2-1=+1，
f（）-f（e2）=e-2--1＜0，
综上，所以实数m的取值范围为{m|0≤m≤e-2}；
（Ⅲ）若a=1时，由（2）知f（x）=+lnx在[1，+∞）上为增函数，
当n＞1时，令x=，则x＞1，故f（x）＞f（1）=0，
即f（）=+ln=-+ln＞0，
∴ln＞（n＞1，且n∈N*）；