由于分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形.欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个,由椭圆的几何性质可知,当点P位于(0,b)或(0,-b)处时,∠F1PF2最大,必须∠F1PF2>90°,此时 <0,∴,由此能够推导出该椭圆的离心率的取值范围.
【解析】
由题意可知,分别过焦点且垂直于x轴的直线与椭圆的交点P可构成四个直角三角形.
而当点P位于(0,b)或(0,-b)处时,∠F1PF2最大,
由条件:欲使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个,必须∠F1PF2>90°,
故 <0,⇒,
∴,
又∵0<e<1,∴.
故答案为:.