Question

已知命题p：在x∈（-∞，0]上有意义，命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域为R．如果p和q有且仅有一个正确，则a的取值范围    ．

Answer

由函数在x∈（-∞，0]上有意义可得p；由函数y=lg（ax2-x+a）的定义域为R．可得ax2-x+a＞0恒成立，结合二次函数的性质可求q，而p和q有且仅有一个正确即是①p正确而q不正确，②q正确而p不正确，两种情况可求a的范围
【解析】
x∈（-∞，0]时，3x∈（0，1]，
∵函数在x∈（-∞，0]上有意义，
∴1-a•3x≥0，∴a≤，
∴a≤1，
即使p正确的a的取值范围是：a≤1．（2分）
由函数y=lg（ax2-x+a）的定义域为R．可得ax2-x+a＞0恒成立
（1）当a=0时，ax2-x+a=-x不能对一切实数恒大于0．
（2）当a≠0时，由题意可得，△=1-4a2＜0，且a＞0
∴a＞．
故q正确：a＞．（4分）
①若p正确而q不正确，则，即a≤，（6分）
②若q正确而p不正确，则，即a＞1，（8分）
故所求的a的取值范围是：（-∞，]∪（1，+∞）．
故答案为：（-∞，]∪（1，+∞）．