Question

选修4-1：几何证明选讲
如图：⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F．
（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由
（2）若AE=6，BE=8，求EF的长．

Answer

（1）BE平分∠ABC．由已知中边的相等，可得∠CAD=∠D，∠ABC=∠ACB，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠CAD=∠D=∠DBE，即有∠ABE+∠EBD=∠CAD+∠D，利用等量减等量差相等，可得∠EBD=∠D=∠ABE，故得证．
（2）由（1）中的所证条件∠ABE=∠FAE，再加上两个三角形的公共角，可证△BEA∽△AEF，利用比例线段可求EF．
【解析】
（1）BE平分∠ABC；
证明：∵AC=CD，∴∠CAD=∠ADC
∴∠ACB=∠CAD+∠ADC=2∠CAD…（2分）
又∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB=2∠CAD∵∠CAD=∠EBC，
∴∠ABC=2∠EBC∴BE平分∠ABC；…（5分）
（2）连接EC，由（1）BE平分∠ABC∴E是弧AC的中点
∴AE=EC=6
又∠EBC=∠CAD=∠ADC∴ED=BD=8…（7分）
∵A、B、C、E四点共圆∴∠CED=∠ABC=∠ACB=∠AEF
∴△AEF∽△DEC
∴∴…（10分）