Question

理科附加题：
已知展开式的各项依次记为a₁（x），a₂（x），a₃（x），…a_n（x），a_n+1（x）．
设F（x）=a₁（x）+2a₂（x）+3a₃（x），…+na_n（x）+（n+1）a_n+1（x）．
（Ⅰ）若a₁（x），a₂（x），a₃（x）的系数依次成等差数列，求n的值；
（Ⅱ）求证：对任意x₁，x₂∈[0，2]，恒有|F（x₁）-F（x₂）|≤2^n-1（n+2）．

Answer

（I）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，据a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次成等差数列，列出方程求出n的值．
（II）先利用到序相加法求出F（2）-F（0）的值，利用导数判断出F（x）的单调性，得证．
【解析】
（Ⅰ）依题意，k=1，2，3，…，n+1，
a1（x），a2（x），a3（x）的系数依次为Cn=1，，，
所以，
解得n=8；            
（Ⅱ）F（x）=a1（x）+2a2（x）+3a3（x），…+nan（x）+（n+1）an+1（x）=
F（2）-F（0）=2Cn1+3Cn2…+nCnn-1+（n+1）Cnn
设Sn=Cn+2Cn1+3Cn2…+nCnn-1+（n+1）Cnn，
则Sn=（n+1）Cnn+nCnn-1…+3Cn2+2Cn1+Cn
考虑到Cnk=Cnn-k，将以上两式相加得：2Sn=（n+2）（Cn+Cn1+Cn2…+Cnn-1+Cnn）
所以Sn=（n+2）2n-1
所以F（2）-F（0）=（n+2）2n-1-1
又当x∈[0，2]时，F'（x）≥0恒成立，
从而F（x）是[0，2]上的单调递增函数，
所以对任意x1，x2∈[0，2]，|F（x1）-F（x2）|≤F（2）-F（0）═（n+2）2n-1-1＜（n+2）2n-1．