Question

已知△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=6，向量=（2sinc，-），=（cos2c，-1）且∥．
（1）求锐角C的大小；
（2）求△ABC的面积S_△ABC的取值范围．

Answer

（1）△ABC中，由∥，可得 sin2C=-cos2C，可得 tan2C=-，由此求得 C的值．
（2）由余弦定理可得 a2+b2=ab+36，再利用基本不等式求得 ab≤36，再根据S△ABC=ab，求得它的最大值，从而得到△ABC的面积S△ABC的取值范围．
【解析】
（1）△ABC中，∵∥，∴2sinC （2-1）=-cos2C，∴sin2C=-cos2C，∴tan2C=-，∴C=．
（2）∵C=，c=6，由余弦定理可得 c2=a2+b2-2ab•cosC，可得 a2+b2=ab+36．
又  a2+b2≥2ab 代入上式得：ab≤36 （当且仅当a=b=6时等号成立．）
∴S△ABC=ab•sinC=ab≤9（当且仅当a=b=c时等号成立．） 
∴S△ABC 的面积的取值范围为（0，9]．