Question

在右图所示的多面体中，下部ABCD-A′B′C′D′为正方体，点P在DD′的延长线上，且PD′=D′D，M、N分别为△PA′B′和△PB′C′的重心．
（1）已知R为棱PD上任意一点，求证：MN∥平面RAC；
（2）求二面角M-BC-D的正切值大小．

Answer

（1）连PM并延长交A'B'于点E，连PN并延长交B'C'于点F，则E、F分别为A'B'、B'C'的中点，连A'C'、EF，则EF∥A'C'，MN∥EF，由此能够证明MN∥平面RAC．
（2）取AB的中点G，连EG、DG，则得到直角梯形PDGE，面PDGE⊥面BCDG，过M作MH⊥DG于点H，则MH⊥面BCDG，过H作HQ⊥BC于Q，连MQ，则MQ⊥BC，则∠HQM为二面角M-BC-D的平面角，由此能求出二面角M-BC-D的正切值．
【解析】
（1）连PM并延长交A'B'于点E，
连PN并延长交B'C'于点F，
则E、F分别为A'B'、B'C'的中点，
连A'C'、EF，则EF∥A'C'，MN∥EF，
∴MN∥A'C'，又A'C'∥AC，
∴MN∥AC，
∵MN⊄面ACR，AC⊂面ACR，
∴MN∥平面RAC．
（2）取AB的中点G，连EG、DG，
则得到直角梯形PDGE，面PDGE⊥面BCDG，交线为DG，
过M作MH⊥DG于点H，则MH⊥面BCDG，
过H作HQ⊥BC于Q，连MQ，则MQ⊥BC，
∴∠HQM为二面角M-BC-D的平面角，
设正方体的棱长为a，则，，
∴二面角M-BC-D的正切值．