Question

已知点列B₁（1，y₁）、B₂（2，y₂）、…、B_n（n，y_n）（n∈N）顺次为一次函数y=x图象上的点，点列A₁（x₁，0）、A₂（x₂，0）、…、A_n（x_n，0）（n∈N）顺次为x轴正半轴上的点，其中x₁=a（0＜a＜1），对于任意n∈N，点A_n、B_n、A_n+1构成以
B_n为顶点的等腰三角形．
（1）求{y_n}的通项公式，且证明{y_n}是等差数列；
（2）试判断x_n+2-x_n是否为同一常数（不必证明），并求出数列{x_n}的通项公式；
（3）在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此时a值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）因为yn=+（n∈N），所以yn+1-yn=，得到{yn}为等差数列；
（2）因为xn+1-xn=2为常数，所以x1，x3，x5，，x2n-1及x2，x4，x6，x2n都是公差为2的等差数列，分别求出通项公式即可；
（3）存在，要使AnBnAn+1为直角三形，则|AnAn+1|=2，分n为奇数和偶数代入特值可求出a的值．
【解析】
（1）yn=+（nÎN），yn+1-yn=，∴{yn}为等差数列
（2）xn+1-xn=2为常数（6¢）∴x1，x3，x5，…，x2n-1及x2，x4，x6，x2n都是公差为2的等差数列，
∴x2n-1=x1+2（n-1）=2n-2+a，x2n=x2+2（n-1）=2-a+2n-2=2n-a，
∴xn=

（3）要使AnBnAn+1为直角三形，则|AnAn+1|=2，=2（），xn+1-xn=2（）
当n为奇数时，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1，∴xn+1-xn=2（1-a）．
2（1-a）=2（）Þa=（n为奇数，0＜a＜1）（*）
取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n≥5，则（*）无解；
当偶数时，xn+1=n+a，xn=n-a，
∴xn+1-xn=2a．
∴2a=2（），a=（n为偶数，0＜a＜1），取n=2，得a=，
若n≥4，则（*）无解．
综上可知，存在直角三形，此时a的值为、、．