Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2a_n+n，
（1）求证：{a_n-1}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项a_n及其前n项和S_n．

Answer

（1）由已知Sn=2an+n，可得Sn+1=2an+1+n+1，两式相减后构造新数列{an-1}，进而根据等比数列定义可得结论．
（2）由（1）可求出数列{an-1}的通项，两边加1后可得数列{an}的通项，结合已知中Sn=2an+n可得Sn．
【解析】
（1）∵Sn=2an+n，…①
∴Sn+1=2an+1+n+1，…②
②-①得
an+1=2an+1-2an+1
即an+1=2an-1
即（an+1-1）=2（an-1）
∴{an-1}为等比数列；
（2）当n=1时，S1=a1=2a1+1，
∴a1=-1，
∴a1-1=-2
由（1）可得等比数列{an-1}的公比为2
∴an-1=-2n，
∴an=1-2n，
Sn=n+2-2n+1