Question

已知正项数列{a_n}，其前n项和S_n满足，
（1）求证：数列{a_n}是等差数列；
（2）若a₁，a₃，a₁₅成等比数列，求数列{a_n}的通项a_n．

Answer

（1）由已知中前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6，根据an=Sn-Sn-1，可以得到an与an-1的差为定值，进而根据等差数列的定义得到答案；
（2）结合a1，a3，a15成等比数列，令n=1，我们可以求出a1，分类讨论后，即可得到满足条件的a1及an与an-1的关系，进而求出数列{an}的通项an．
证明：（1）∵…①
∴…②
②-①得：

即
∵数列{an}为正项数列
∴（an+1+an）≠0
∴
即数列{an}是等差数列
（2）当n=1时，
解得a1=2，或a1=3
由（1）得等差数列{an}的公差d=5，
当a1=3时，a3=13，a15=73． a1，a3，a15不成等比数列
∴a1≠3；
当a1=2时，a3=12，a15=72，有 a32=a1a15，
∴a1=2，
∴an=5n-3．