Question

已知函数f（x）=．
（1）用定义证明函数f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；
（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的值域；
（3）若g（x）=，且当x∈[1，2]时g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据函数单调性的定义，先在所给区间上任设两个数并确定好大小，然后通过作差法即可获得自变量对应函数值的大小关系，由定义即可获得问题的解答；
（2）结合（1）所证明的结论即可获得函数在[1，2]上的单调性，从而可以求的函数在[1，2]上的最值，进而问题即可获得解答；
（3）充分利用前两问答结论，即可获得g（x）=在[1，2]上的最值，结合恒成立的条件即可将问题转化为实数a的不等关系，求解即可获得问题的解答．
【解析】
（1）设x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=-
∵x1＜x2，∴2x2-2x1＞0
又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
f（x1）-f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（-∞，+∞）上为减函数．
（2）∵f（x）在（-∞，+∞）上为减函数，
∴f（x）值域为．
（3）当x∈[{1，2}]时，g（x）∈
∵g（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，
∴，∴．