Question

已知函数f（x）=log_a（a＞0，且a≠1）．
（1）求f（x）的定义域；  
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）是否存在实数，使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+log_an，1+log_am]？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，则说明理由．

Answer

（1）要使函数有意义，必须要求真数即可；
（2）先看定义域是否关于原点对称，然后在定义域内判断等式f（-x）=-f（x）是否成立；
（3）先假设存在这样的实数a，则使得f（x）的定义域为[m，n]时，值域为[1+logan，1+logam]⇔函数f（x）=在区间[m，n]（m＞2）上单调递减，且0＜a＜1．
⇔关于x的方程ax2+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有两个不相等的实数解．⇔，解出即可．
【解析】
（1）∵，∴（x+2）（x-2）＞0，解得x＞2，或x＜-2．
∴函数f（x）的定义域是{x|x＜-2，或x＞2}．
（2）∵f（-x）===-=-f（x）．
及由（1）可知：函数f（x）的定义域关于原点对称．
∴函数f（x）是奇函数．
（3）假设存在这样的实数a，则由m＜n，logam及由意义，
可知2＜m＜n．
由∵1+logan＜1+logam，∴logan＜logam，
∴0＜a＜1．
令t=，则t=在区间[m，n]（m＞2）上单调递增，
∴函数f（x）=在区间[m，n]上单调递减．
∴，
∴m，n是方程的两个大于2的根．方程可化为，即ax2+（2a-1）x+2=0．
上述问题⇔关于x的方程ax2+（2a-1）x+2=0在（2，+∞）上有两个不相等的实数解．
令g（x）=ax2+（2a-1）x+2，
则有，解得．

解得．
又0＜a＜1，
∴．
故存在这样的实数a，且a的取值范围为．